БЛОК ТЕОРИИ: Математика и статистика

ТЕМА 1. Дескриптивная статистика

Дескриптивная статистика — это способы описать данные: что у нас есть, как они распределены, есть ли аномалии.

1.1 Меры центральной тенденции (Где «центр» данных?)

Показатель	Определение	Когда использовать	Пример из ритейла
Среднее (Mean)	Сумма всех значений / количество	Когда распределение симметричное, нет выбросов	Средний чек в магазине = 1500 ₽
Медиана (Median)	Значение, которое делит ряд пополам (50-й процентиль)	Когда есть выбросы или асимметрия	Медианный чек = 800 ₽ (лучше показывает «типичного» покупателя)
Мода (Mode)	Самое часто встречающееся значение	Для категориальных данных (категории товаров)	Самый популярный товар — «Хлеб»

Почему медиана важнее среднего в ритейле?

Представьте: у вас 10 покупателей. 9 купили по 100 ₽, а 1 купил на 1 000 000 ₽.

Среднее = (9×100 + 1 000 000) / 10 = 100 090 ₽
Медиана = 100 ₽

Какой показатель реально описывает вашего клиента? Конечно, медиана!

1.2 Меры разброса (Насколько данные «размазаны»?)

Показатель	Определение	Формула (интуитивно)
Дисперсия	Средний квадрат отклонений от среднего	`Σ (xi - mean)² / n`
Стандартное отклонение (σ)	Корень из дисперсии. Показывает, насколько типичное значение отклоняется от среднего	`√дисперсия`
Размах	Максимум - минимум	`max - min`
Квартили	Делят данные на 4 части (25%, 50%, 75%)	Q1, Q2 (медиана), Q3
Межквартильный размах (IQR)	Q3 - Q1	Показывает разброс средних 50% данных
Процентили	Делят данные на 100 частей (1-й, 5-й, 95-й и т.д.)	90-й процентиль — значение, ниже которого лежат 90% данных

Пример из ритейла:

Проанализировали чеки за месяц:

Средний чек = 1000 ₽
Стандартное отклонение = 300 ₽

Это значит, что большинство чеков лежит в диапазоне 1000 ± 300 = от 700 до 1300 ₽.

Если стандартное отклонение = 800 ₽ при среднем = 1000 ₽ — это говорит о большой неоднородности клиентов (есть и бедные, и богатые).

1.3 Правило трех сигм (Эмпирическое правило)

Для нормального распределения:

Диапазон	Сколько данных попадает
`mean ± 1σ`	~68%
`mean ± 2σ`	~95%
`mean ± 3σ`	~99.7%

Как найти выбросы в ритейле:

Выбросы — это точки, которые выходят за пределы mean ± 3σ или за Q1 - 1.5×IQR и Q3 + 1.5×IQR.

Пример: Вы ищете аномальные транзакции.

Если средний чек = 1500 ₽, σ = 500 ₽
То 3σ = 1500 ₽
Чек > 1500 + 1500 = 3000 ₽ — это выброс (возможно, мошенничество или ошибка)

ТЕМА 2. ВЕРОЯТНОСТЬ

Вероятность — это мера того, насколько событие возможно. От 0 (никогда) до 1 (всегда).

2.1 Базовые понятия

Термин	Определение	Пример
Событие	Результат эксперимента	«Покупатель купил товар»
Вероятность P(A)	Число благоприятных исходов / Всего исходов	P(покупка) = 0.3 (30% покупателей что-то покупают)
Независимые события	Одно не влияет на другое	Погода на улице не влияет на качество товара (обычно)
Зависимые события	Одно влияет на другое	Наличие скидки влияет на вероятность покупки

2.2 Условная вероятность

Формула: P(A|B) — вероятность события A при условии, что B произошло.

Формула: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

Пример из ритейла:

Событие A: Клиент купил товар
Событие B: Клиент зашел на сайт по рекламе

Вопрос: Какова вероятность покупки, если клиент пришел по рекламе?

P(покупка | пришел_по_рекламе) = P(покупка И пришел_по_рекламе) / P(пришел_по_рекламе)

Если P(покупка) без рекламы = 2%, а с рекламой = 8%, то реклама работает.

2.3 Теорема Байеса (Интуитивно)

Формула Байеса:

P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)

Что это дает: Мы можем пересчитать вероятность события, когда появляются новые данные.

Пример из ритейла (Скоринг клиентов):

Компания хочет предсказать, купит ли клиент товар.

Априорная вероятность (P(A)): Без данных 5% клиентов покупают товар.
Новые данные (B): Клиент добавил товар в корзину.
P(B|A): Среди тех, кто купил, 80% добавляли товар в корзину.
P(B): Среди всех клиентов, 10% добавляют товар в корзину.

По Байесу:

P(покупка | добавил_в_корзину) = 0.8 × 0.05 / 0.10 = 0.4 (40%)

Вывод: Без данных — 5%, с данными о корзине — 40%. Байес позволяет нам уточнять прогнозы.

ТЕМА 3. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ (А/Б-ТЕСТИРОВАНИЕ)

Это главный инструмент аналитика в ритейле и маркетинге.

3.1 Основные понятия

Термин	Определение	Пример
Нулевая гипотеза (H₀)	Утверждение «ничего не изменилось»	Новая упаковка НЕ влияет на продажи
Альтернативная гипотеза (H₁)	Утверждение «изменение есть»	Новая упаковка увеличивает продажи
p-value	Вероятность получить такие данные (или более экстремальные), если H₀ верна	p-value = 0.03 = 3%
Уровень значимости (α)	Порог, при котором мы отвергаем H₀	Обычно α = 0.05 (5%)
Доверительный интервал	Диапазон, в котором с вероятностью 95% лежит истинное значение	Средний чек: 1000 ± 50 ₽

3.2 Как интерпретировать p-value

Правило: Если p-value < 0.05 → отвергаем H₀ (результат статистически значим).

p-value	Интерпретация
p < 0.001	🟢 Очень сильные доказательства (изменение точно есть)
0.001 < p < 0.05	🟢 Статистически значимо (можно внедрять)
0.05 < p < 0.10	🟡 На границе (нужны еще данные)
p > 0.10	🔴 Нет доказательств (изменение не подтверждено)

Пример из ритейла (А/Б-тест):

Группа A (контроль): 1000 клиентов, старая упаковка, конверсия = 10%
Группа B (тест): 1000 клиентов, новая упаковка, конверсия = 14%

p-value = 0.02 (это значит, что если бы разницы не было, вероятность получить такую разницу — всего 2%).

Вывод: p-value < 0.05 → внедряем новую упаковку.

3.3 t-тест (Стьюдента)

Когда использовать: Сравниваем средние значения двух групп (количественные данные).

Пример из ритейла:

Средний чек в магазине А = 1200 ₽
Средний чек в магазине Б = 1350 ₽
Вопрос: Разница реальная или случайная?

t-тест показывает: Если p-value < 0.05 → разница реальная.

3.4 Хи-квадрат (χ²) тест

Когда использовать: Сравниваем категориальные данные (проценты, доли).

Пример из ритейла:

Есть 3 рекламных канала: TV, Соцсети, Контекст
Каждый привел разное количество клиентов
Вопрос: Каналы работают одинаково или есть явный лидер?

Канал	Пришло клиентов
TV	150
Соцсети	300
Контекст	550

χ²-тест покажет: Если p-value < 0.05 → есть значимая разница между каналами (можно сливать бюджет с плохих каналов).

ТЕМА 4. КОРРЕЛЯЦИЯ

Корреляция — это мера связи между двумя переменными. Но корреляция ≠ причинность!

4.1 Коэффициент корреляции Пирсона (r)

Для ЧИСЛОВЫХ данных: измеряет линейную связь.

Значение r	Интерпретация
r = 1	Полная положительная связь (что больше x, то больше y)
r = 0	Связи нет
r = -1	Полная отрицательная связь (что больше x, то меньше y)

Примеры из ритейла:

r = 0.85 — между рекламным бюджетом и продажами. (Сильная связь: больше тратим → больше продаем)
r = 0.1 — между цветом упаковки и продажами. (Связи нет)
r = -0.7 — между ценой и количеством продаж. (Отрицательная связь: цена растет → продажи падают)

4.2 Коэффициент корреляции Спирмена

Для НЕЛИНЕЙНЫХ данных или для рангов (порядковых): оценивает монотонную связь (не обязательно линейную).

Пример: Зависимость между рангом сотрудника (должность) и зарплатой.

4.3 КОРРЕЛЯЦИЯ ≠ ПРИЧИННОСТЬ (Важнейшее правило!)

Пример 1 (Ложная корреляция):

В летние месяцы растут продажи мороженого.
В летние месяцы растет число утопленников.
Корреляция = 0.95, но мороженое НЕ вызывает утопления.

Реальная причина: Жара (общий фактор).

Пример 2 (Обратная причинность):

Мы видим корреляцию между «количеством пожарных на месте» и «ущербом от пожара».
Корреляция = 0.8.
Значит ли это, что пожарные увеличивают ущерб? Нет! Просто на большие пожары выезжает больше машин.

Как проверить причинность в ритейле? Только через А/Б-тест (рандомизированное контролируемое испытание)!

ТЕМА 5. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

5.1 Нормальное распределение (Колокол Гаусса)

Характеристики:

Симметричное
Большинство значений в центре
Крайние значения — редкость

Где встречается в ритейле:

Рост, вес людей (для сегментации аудитории)
Количество посетителей в час (примерно)
Ошибки измерения

Пример: Если средний чек распределен нормально, то 95% чеков лежит в диапазоне mean ± 2σ.

5.2 Биномиальное распределение

Когда использовать: Когда есть два исхода (успех/неуспех).

Примеры в ритейле:

Клиент купил / не купил
Клиент вернул товар / не вернул
Клиент открыл письмо / не открыл

Характеристики:

Дискретное (конкретное число успехов)
Зависит от n (количество испытаний) и p (вероятность успеха)

Пример: Из 100 клиентов, каждый с вероятностью 10% купит товар. Какое распределение будет иметь общее количество покупок? → Биномиальное.

5.3 Распределение Пуассона

Когда использовать: Считаем количество событий в фиксированный промежуток времени.

Примеры в ритейле:

Количество клиентов в час в магазине
Количество заказов в минуту на сайте
Количество возвратов в день

Характеристики:

Дискретное
λ (лямбда) = среднее количество событий

Пример: В вашем магазине в час приходит в среднем 50 клиентов. Какова вероятность, что за следующий час придет ровно 60 клиентов? → Распределение Пуассона.

5.4 Почему распределения важны для аналитика?

Распределение	Когда использовать	Какой тест применять
Нормальное	Данные симметричны	t-тест (параметрический)
Не нормальное	Данные асимметричны	Манн-Уитни (непараметрический)
Биномиальное	Считаем успехи/неуспехи	χ²-тест

Главное правило:

Если данные нормально распределены → используем t-тест.
Если данные НЕ нормально распределены → используем непараметрические тесты (Манн-Уитни, χ²).

ИТОГОВАЯ ШПАРГАЛКА (Для собеседования)

Тема	Что спросят	Ваш ответ
Дескриптивная статистика	Чем медиана отличается от среднего?	Медиана устойчива к выбросам, лучше описывает типичного клиента
Выбросы	Как найти аномалии в данных?	Использовать правило `mean ± 3σ` или метод квартилей (IQR)
p-value	Что такое p-value?	Вероятность получить такие данные, если нулевая гипотеза верна. Если p < 0.05 — результат значим
А/Б-тест	Как понять, что акция работает?	Провести t-тест между контрольной и тестовой группой. Если p < 0.05 — акция работает
Корреляция	Нашли корреляцию между кофе и продажами. Что делать?	Не спешить внедрять! Корреляция ≠ причинность. Проверить через А/Б-тест
Доверительный интервал	Что такое 95% доверительный интервал?	С вероятностью 95% истинное значение лежит в этом диапазоне
Распределения	Зачем знать распределения?	Чтобы правильно выбирать статистические тесты (t-тест для нормальных, χ² для категориальных)

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ДЛЯ СТУДЕНТА

Задача: Представьте, что вы аналитик в М.Видео. К вам пришел маркетолог с вопросом: «Мы запустили новую рекламную кампанию на маркетплейсе. За 30 дней до кампании средняя конверсия была 5.2%. За 30 дней после — 6.8%. Как понять, это успех или просто случайность?»

Что должен сделать студент:

Сформулировать гипотезы:
- H₀: Конверсия не изменилась
- H₁: Конверсия увеличилась
Выбрать метод: t-тест для независимых выборок (или z-тест, если знаем стандартное отклонение).
Получить p-value: (Предположим, p = 0.03)
Принять решение: p < 0.05 → отвергаем H₀ → кампания работает.
Построить доверительный интервал: (1.6% ± 0.5%) = конверсия выросла на 1.1% - 2.1%.
Подготовить ответ маркетологу: «Кампания статистически значимо увеличила конверсию на 1.6% (95% ДИ: 1.1% - 2.1%). Рекомендую масштабировать.»

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ БЛОК: ОШИБКИ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА

Ошибка	Что это	Пример в ритейле
Ошибка I рода (False Positive)	Мы отвергли H₀, а она была верна. Внедрили изменение, а оно не работает.	Запустили новую упаковку, потратили деньги, а продажи не выросли
Ошибка II рода (False Negative)	Не отвергли H₀, а она была ложной. Пропустили хорошее изменение.	Провели А/Б-тест, сказали «не внедрять», а на самом деле продажи бы выросли

Как снизить риск ошибок:

Увеличить выборку (больше клиентов в тесте)
Снизить уровень значимости α (например, до 0.01)
Использовать мощные статистические тесты

Этот блок полностью закрывает теоретическую математическую базу для Junior-аналитика. После изучения студент сможет:

Описать данные (среднее, медиана, выбросы)
Проверить гипотезы (А/Б-тесты)
Найти корреляции
Понимать распределения
Интерпретировать p-value и доверительные интервалы
Отличить корреляцию от причинности

test